群论如实由好多不同类型的群组成万博全站APP最新版，其中有五个基本群在表面上至极垂危，况兼为融会更复杂的群结构提供了基础。为了阐发每个群是怎样构建的，咱们需要从对称性（symmetry）启动。对称性是指一个物体在经由某些操作后仍保捏不变的性质。

以海星为例，每转72度，它看起来和之前交流。为了扩充这种看法，需要缔造三个条目。

领先，识别物体中通盘相似的部分，并赋予它们一个编号。

其次，尝试找出不错对该物体实施的操作，这些操作不错再行罗列编号的部分，同期占据交流的空间。这些操作不错是旋转、翻转、平移或反射等。它们的共同特质是不会更变物体的合座神色或尺寸，仅仅再行罗列了物体的编号部分，并确保物体仍然占据交流的空间。

第三，列出通盘可能的组合。

这在数学上不是很实用，是以移除矩形，只线路注视。

这个图从盘算推算“物体在空间中的特定罗列或景况”弯曲为盘算推算操作。虚线箭头线路的是垂直翻转，而实线暗意水平翻转。

咱们不错进一步简化它，不是用完整的短语，而是选拔神采和节点。这些极端被称为节点。的第一个节点是着手节点，象征为N。

箭头变成了线，天然忙绿箭头头部，咱们仍然称之为箭头。蓝色代表水平翻转，按捺于B节点，红色代表垂直翻转，按捺于R节点。咱们知谈，每次暗意相关时王人不会使用图表，实践上以代数格式抒发它。再次看图，发现RB等于BR，两者王人按捺在RB节点。因此，更精真金不怕火地暗意为RB=BR。

昭着这是一个至极通俗的例子，但这里有一个至极垂危的点，咱们刚才画的是一个群，它的可视化，更具体地称为克莱因4元群（Klein-4，记为V4）。趁便提一下，通盘的节点王人是它的元素，是以当咱们说N是V4的元素时，抒发为

克莱因四元群属于阿贝尔群眷属（abelian groups），但在真切盘算推算它们之前，咱们需要了解一个更基本的群眷属，称为轮回群（cyclic groups）。它们是最基本的，因为它们只消旋转对称性，这意味着对轮回群只可作念一件事，那等于旋转它。

轮回群频繁被定名为C_n，n是元素的数目或它们的阶。频繁咱们会给一个节点分派一个恒等元“零”，因为旋转一个有n个叶片的螺旋桨n次会回到着手，这实践上等同于从未旋转过。

因此，在代数上，C_5暗意为这么：

每次旋转王人朝咱们选拔的场合（不成是两个场合），

在这个例子中，每个群的元素王人是通过反复加一世成的，但数字不会无穷增多，达到n后会回到零，这等于所谓的模加法（modular addition）。

要是用凯莱表（Cayley table）来暗意这小数，

会明晰地看到近似2+3=0或4+3=2这么的情况。正如之前提到的，其他群族不错从轮回群构建而成。因此，为了融会这小数，咱们需顺次会如安在其他类型的群中找到轮回群。

考虑这个图S_3，

蓝色的箭头暗意旋转或r。要是从单元元素e启动，会看到在外部描摹出一个与C_3十足交流的轨迹。这个术语称为r的轨谈，它们频繁像聚合一样写在通盘。

通盘的轮回群王人是阿贝尔群，这天然引出了阿贝尔群眷属。实践上，阿贝尔群不错从轮回群构建而成。阿贝尔群是指那些操作律例卑不足谈的群。回念念一下咱们之前的V_4例子，要是R和B是阿贝尔群中的两个操作，那么操作R后再操作B，恶果与先操作B再操作R交流，这暗意为RB=BR。这个读作R与B可交换，因此阿贝尔群是可交换的。

这在视觉上可能了然于目，但要是望望这两个至极相似的图，

其中一个是D_4，另一个是C_2×C_4。仔细不雅察会发现，关于D_4，先蓝色再红色，和先红色再蓝色取得的节点不同，

因此RB不等于BR，但另一个群则很是。

在凯莱表中它们也很容易识别，因为它们险些是互相的镜像。

要是你将表沿对角线对折，战役到的元素是交流的。

轮回群只可展示旋转对称的物体。那么要是念念旋转它并将其翻转呢？有合乎这种情况的群吗？有的，这等于二面体群（Dihedral groups），它不错旋转和翻转。二面体群形色的物体也具有双边对称性，这意味着它们在反射时看起来交流。它们频繁写稿D_n。

咱们在C_n中能作念的通盘操作也不错在D_n中进行，因为它波及旋转。但由于D允许翻转，因此D_n中的操作数目是C_n的两倍。在二面体群中，每种可能的旋转王人有一种可能的翻转。取一个等边三角形并给通盘的角编号，

咱们不错旋转它，这相等于C_3的旋转，这个顺时针的旋转不错称为r，C_3副本等于r的轨谈。但咱们也不错通过翻转三角形取得另外三个位置，将总和进步到六个。

D_n图的外环是r的轨谈，是轮回群C_n的副本，它们顺时针旋转。内环亦然旋转，但为逆时针旋转。f操作聚合内环和外环。

乘法表明晰地线路了这小数，咱们不错将其分为四个至极明确的象限。

在这个D_5的例子中，不错称它们为“翻转”和“未翻转”。

到现在为止，咱们主要盘算推算了神色，但要是念念要再行罗列群的元素会怎样？这些再行罗列属于咱们将盘算推算的终末两个群族：对称群和轮换群。它们是构建群的完好器具，因为它们知足群的四个条目：

它们有一组预界说的永不更变的操作，每个操作只消一种理会，一语气实施的一系列操作亦然一个操作，况兼每个罗列王人是不错逆转的。

还谨记之前提到的S_3吗？S代表对称，S_n代表n个事物的通盘罗列组成的群，或称为对称群。S3是咱们迄今遭受的唯独对称群，它很小，但跟着n的增大，它们变得愈加引东谈主刺眼。它们的界限增长至极快，S_n中的n是阶乘。特出S_5后，凯莱图表变得至极难以绘画。但S_4仍然不错很好地罗列。S_4有四个元素，是以有24种可能的罗列。红色箭头暗意罗列“2到4，4到3，3到2”，蓝色箭头暗意罗列“1到2，2到1”。

尽管元素的聚合不错变成一个群，但创建罗列群并不一定需要取通盘给定大小的罗列。仍然不错使用S_n的一部分罗列变成一个群。一种圭臬是通过轮换群，它只取S_n中一半的元素，但不是立时的一半。轮换群A_n由S_n中的偶罗列组成。举个例子，

它展示了S_3中每个罗列在普遍时的举止。当咱们对一个罗列普遍时，实践上是将它一语气诳骗两次。“1”是恒等罗列“1 2 3”，或通俗记作“id”。将其普遍意味着id ○ id = id，因此恶果是恒等元素。

接下来是两个元素的交换，举例交换元素1和2，普遍它意味着

这等于恒等元，因为交换两次会对消交换，因此它仍然是恒等元，是以它是一个奇罗列。2和3交换亦然一样的道理。

第五和第六行的罗列产生了两种不同的换位

先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶罗列。终末一个亦然偶罗列。因此，在6个可能的罗列中，咱们取得了三个，轮换群A_3。

在凯莱图中，轮换群的罗列是对称群罗列的一半。举例，轮换群A_4罗列在一个截顶四面体上，而这是S_4的截顶八面体的一半。

这一切引出了凯莱定理，它指出，群论的通盘内容王人不错在罗列中找到。

凯莱定理（Cayley's Theorem）是群论中的一个垂危定理，标明每一个有限群王人同构于某个对称群的一个子群。换句话说万博全站APP最新版，任何群王人不错通过某种格式暗意为对称群（即罗列群）的一个子群。这意味着每个群的元素不错看作是对一些聚合的元素进行罗列的置换。